什麼是特徵向量和特徵值？

線性代數是許多進階數學概念的基礎，廣泛應用於數據科學、機器學習、計算機視覺和工程等領域。其中一個基本概念是特徵向量（eigenvector），通常與特徵值（eigenvalue）一起使用。但特徵向量到底是什麼？為什麼它如此重要呢？

這篇文章將以簡單直觀的方式解釋特徵向量的概念，讓任何人都能輕鬆理解。

什麼是特徵向量？

一個方陣（square matrix）與一種特殊的向量稱為特徵向量相關聯。當這個矩陣作用於特徵向量時，它保持特徵向量的方向不變，只是按一個稱為特徵值的數量進行縮放。

用數學術語來說，對於一個方陣 A，非零向量 v 是特徵向量的條件是：

這裡：

• A 是矩陣。
• v 是特徵向量。
• λ 是特徵值（一個標量）。

特徵向量的直覺理解

想像你有一個矩陣 A，代表一個線性變換，例如拉伸、旋轉或縮放一個二維空間。當這個變換作用於一個向量 v 時：

• 大多數向量會改變它們的方向和大小。
• 然而，有一些特殊的向量只會被縮放，而不會被旋轉或翻轉。這些特殊的向量就是特徵向量。

例如：

• 如果 λ > 1，特徵向量被拉伸。
• 如果 0 < λ < 1，特徵向量被壓縮。
• 如果 λ = -1，特徵向量翻轉方向，但保持相同的長度。

為什麼特徵向量重要？

特徵向量在許多數學和現實世界的應用中扮演著重要角色：

• 主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）：PCA 是一種廣泛使用的降維技術。特徵向量用於確定數據的主成分，這些主成分捕捉最大變異性，幫助識別最重要的特徵。
• Google PageRank：這個排名網頁的算法使用表示網頁之間連結的矩陣的特徵向量。主要特徵向量幫助確定每個網頁的相對重要性。
• 量子力學：在物理學中，特徵向量和特徵值描述系統的狀態及其可測量的性質，例如能量水平。
• 計算機視覺：特徵向量用於面部識別系統，特別是在像 Eigenfaces 這樣的技術中，幫助將圖像表示為重要特徵的線性組合。
• 振動分析：在工程中，特徵向量描述橋樑和建築物等結構的振動模式。

如何計算特徵向量？

要找到特徵向量，請遵循以下步驟：

• 設置特徵值方程：從 Av = λv 開始，並將其重寫為 (A−λI)v = 0，其中 I 是單位矩陣。
• 求解特徵值：計算 det(A−λI) = 0 以找到特徵值 λ。
• 找到特徵向量：將每個特徵值 λ 代入 (A−λI)v = 0，並求解 v。

範例：特徵向量的應用

考慮一個矩陣：

步驟 1：找到特徵值 λ。

解決 det(A−λI) = 0：

步驟 2：為每個 λ 找到特徵向量。

對於 λ = 3：

對於 λ = 1：

Python 實現

讓我們使用 Python 計算一個矩陣的特徵值和特徵向量。

範例矩陣

考慮這個矩陣：

代碼實現

“`python
import numpy as np

# 定義矩陣
A = np.array([[2, 1], [1, 2]])

# 計算特徵值和特徵向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

# 顯示結果
print(“矩陣 A:”)
print(A)

print(“\n特徵值:”)
print(eigenvalues)

print(“\n特徵向量:”)
print(eigenvectors)
“`

輸出：

矩陣 A:

[[2 1]

[1 2]]

特徵值:

[3. 1.]

特徵向量:

[[ 0.70710678 -0.70710678]

[ 0.70710678 0.70710678]]

可視化特徵向量

你可以可視化特徵向量在矩陣 A 定義的變換下的行為。

可視化代碼

“`python
import matplotlib.pyplot as plt

# 定義特徵向量
eig_vec1 = eigenvectors[:, 0]
eig_vec2 = eigenvectors[:, 1]

# 繪製原始特徵向量
plt.quiver(0, 0, eig_vec1[0], eig_vec1[1], angles=”xy”, scale_units=”xy”, scale=1, color=”r”, label=”特徵向量 1″)
plt.quiver(0, 0, eig_vec2[0], eig_vec2[1], angles=”xy”, scale_units=”xy”, scale=1, color=”b”, label=”特徵向量 2″)

# 調整繪圖設置
plt.xlim(-1, 1)
plt.ylim(-1, 1)
plt.axhline(0, color=”gray”, linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color=”gray”, linewidth=0.5)
plt.grid(color=”lightgray”, linestyle=”–“, linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.title(“矩陣 A 的特徵向量”)
plt.show()
“`

這段代碼將生成一個圖，顯示矩陣 A 的特徵向量，說明它們的方向以及在變換下如何保持不變。

關鍵要點

• 特徵向量是特殊的向量，在矩陣變換下保持相同的方向。
• 它們與特徵值配對，特徵值決定特徵向量的縮放程度。
• 特徵向量在數據科學、機器學習、工程和物理等領域有重要應用。
• Python 提供像 NumPy 這樣的工具，可以輕鬆計算特徵值和特徵向量。

結論

特徵向量是線性代數中的基礎概念，在數據科學、工程、物理等領域有著深遠的應用。它們代表了矩陣變換如何影響某些特殊方向的本質，使它們在降維、圖像處理和振動分析等領域不可或缺。

通過理解和計算特徵向量，你可以解鎖一個強大的數學工具，使你能夠清晰而精確地解決複雜問題。借助 Python 的強大庫，如 NumPy，探索特徵向量變得簡單，讓你能夠在現實場景中可視化和應用這些概念。

無論你是在建立機器學習模型、分析結構動力學，還是深入量子力學，對特徵向量的扎實理解都是你旅程中非常有用的技能。

常見問題