我不會改變，除非你改變

在遊戲理論中，玩家如何能夠結束遊戲，如果他們可能還有更好的選擇呢？也許有一位玩家仍然想改變他們的決定。但是如果他們這麼做，另一位玩家也可能想改變。那麼他們如何能夠逃出這個惡性循環呢？為了解決這個問題，納什均衡的概念是遊戲理論中非常重要的一部分，我將在這篇文章中解釋它。

這篇文章是關於遊戲理論的四章系列的第二部分。如果你還沒有查看第一章，我鼓勵你先去看看，以便熟悉遊戲理論的主要術語和概念。如果你已經看過了，那麼你就準備好繼續我們的遊戲理論之旅了。讓我們開始吧！

尋找解決方案

現在我們將嘗試為遊戲找到解決方案。在遊戲理論中，解決方案是一組行動，每位玩家都能最大化自己的效用，因此行為是理性的。這並不一定意味著每位玩家都贏得了遊戲，而是他們在不知道其他玩家會怎麼做的情況下，做出了最佳的選擇。讓我們考慮以下遊戲：

如果你不熟悉這種矩陣表示法，你可能想回去看看第一章，刷新一下記憶。你還記得這個矩陣給出了每位玩家在特定行動組合下的獎勵嗎？例如，如果玩家1選擇行動Y，玩家2選擇行動B，則玩家1將獲得1的獎勵，而玩家2將獲得3的獎勵。

那麼，玩家們現在應該選擇什麼行動呢？玩家1不知道玩家2會怎麼做，但他們仍然可以嘗試找出根據玩家2的選擇，哪個行動會是最佳的。如果我們比較行動Y和Z的效用（在下一個圖中用藍色和紅色框標示），我們會注意到一些有趣的事情：如果玩家2選擇行動A（矩陣的第一列），玩家1將獲得3的獎勵，如果他們選擇行動Y，而選擇行動Z則獲得2的獎勵，因此在這種情況下行動Y更好。但是如果玩家2選擇行動B（第二列）呢？在這種情況下，行動Y給予1的獎勵，而行動Z給予0的獎勵，因此Y再次比Z好。如果玩家2選擇行動C（第三列），Y仍然比Z好（獎勵2對1）。這意味著玩家1永遠不應該使用行動Z，因為行動Y總是更好。

我們比較了玩家1對於行動Y和Z的獎勵。

根據上述考慮，玩家2可以預測玩家1永遠不會使用行動Z，因此玩家2不必關心行動Z的獎勵。這使得遊戲變得更小，因為現在玩家1只剩下兩個選擇，這也幫助玩家2決定他們的行動。

我們發現，對於玩家1來說，Y總是比Z好，因此我們不再考慮Z。

如果我們看縮減後的遊戲，我們會看到，對於玩家2來說，選擇B總是比選擇A好。如果玩家1選擇X，行動B（獎勵2）比選擇A（獎勵1）好，對於玩家1選擇行動Y也是如此。請注意，如果行動Z仍然在遊戲中，情況就不會這樣。然而，我們已經看到玩家1無論如何都不會玩行動Z。

我們比較了玩家2對於行動A和B的獎勵。

因此，玩家2永遠不會使用行動A。現在如果玩家1預測到玩家2永遠不會使用行動A，遊戲再次變小，考慮的選擇也減少了。

我們看到，對於玩家2來說，行動B總是比行動A好，因此我們不再考慮A。

我們可以以類似的方式繼續，看到對於玩家1來說，X現在總是比Y好（2>1和4>2）。最後，如果玩家1選擇行動A，玩家2將選擇行動B，這比行動C更好（2>0）。最終，只有行動X（對於玩家1）和B（對於玩家2）剩下。這就是我們遊戲的解決方案：

最終，只剩下一個選擇，即玩家1使用X，玩家2使用B。

對於玩家1來說，選擇行動X是理性的，對於玩家2來說，選擇行動B也是如此。請注意，我們得出這個結論時並不知道另一位玩家會怎麼做。我們只是預測某些行動永遠不會被採取，因為它們總是比其他行動更差。這些行動被稱為嚴格支配行動。例如，行動Z被行動Y嚴格支配，因為Y總是比Z好。

最佳答案

這些嚴格支配的行動並不總是存在，但有一個類似的概念對我們來說是重要的，稱為最佳答案。假設我們知道另一位玩家選擇了哪個行動。在這種情況下，決定行動變得非常簡單：我們只需選擇獎勵最高的行動。如果玩家1知道玩家2選擇了選項A，那麼玩家1的最佳答案將是Y，因為Y在那一列中獲得的獎勵最高。你看到我們之前一直在尋找最佳答案嗎？對於另一位玩家的每一個可能行動，我們都在尋找最佳答案。如果更正式地說，玩家i對所有其他玩家的特定行動集的最佳答案是玩家1在考慮其他玩家行動的情況下最大化效用的行動。還要注意，嚴格支配的行動永遠不會是最佳答案。

讓我們回到第一章介紹的遊戲：囚徒困境。這裡的最佳答案是什麼呢？

如果玩家2選擇認罪或否認，玩家1應該如何決定呢？如果玩家2認罪，玩家1也應該認罪，因為獎勵-3比獎勵-6好。如果玩家2否認呢？在這種情況下，認罪再次更好，因為它將給予獎勵0，這比否認的獎勵-1好。這意味著對於玩家1來說，無論玩家2的行動是什麼，認罪都是最佳答案。玩家1根本不需要擔心另一位玩家的行動，而應該始終選擇認罪。由於遊戲的對稱性，玩家2也是如此。對他們來說，認罪也是最佳答案，無論玩家1怎麼做。

納什均衡

如果所有玩家都選擇他們的最佳答案，我們就達到了稱為納什均衡的遊戲解決方案。這是遊戲理論中的一個關鍵概念，因為它有一個重要的特性：在納什均衡中，沒有玩家有理由改變他們的行動，除非其他玩家也這麼做。這意味著所有玩家在這種情況下都感到滿意，即使他們可以，也不會改變。考慮一下上面的囚徒困境：當兩人都認罪時達到納什均衡。在這種情況下，沒有玩家會在沒有其他玩家改變的情況下改變自己的行動。他們可以變得更好，如果兩人都改變行動並選擇否認，但由於他們無法溝通，他們不會期待另一位玩家的改變，因此他們自己也不會改變。

你可能會想知道，每個遊戲是否總是只有一個納什均衡。讓我告訴你，也可以有多個納什均衡，就像我們在第一章中已經了解的巴赫與斯特拉文斯基遊戲：

這個遊戲有兩個納什均衡：(巴赫，巴赫)和(斯特拉文斯基，斯特拉文斯基)。在這兩種情況下，你可以輕易想像，沒有任何玩家會單獨改變他們的行動。如果你和朋友坐在巴赫的音樂會上，你不會單獨離開座位去斯特拉文斯基的音樂會，即使你更喜歡斯特拉文斯基而不是巴赫。同樣，巴赫的粉絲也不會離開斯特拉文斯基的音樂會，因為這樣會讓他的朋友孤單。然而，在剩下的兩種情況下，你會有不同的想法：如果你獨自在斯特拉文斯基的音樂會上，你會想要離開那裡，去和你的朋友一起參加巴赫的音樂會。也就是說，即使另一位玩家不改變，他們也會改變自己的行動。這告訴你，你所處的情境不是納什均衡。

然而，也有一些遊戲根本沒有納什均衡。想像一下，你是一名足球守門員，面對點球。為了簡化，我們假設你可以向左或向右跳。對方的足球運動員也可以向左或右角射門，我們假設如果你選擇與他們相同的角度，你就能接住球，而如果你選擇相反的角度，你就接不住球。我們可以這樣顯示這個遊戲：

在這裡你找不到任何納什均衡。每種情況都有明確的贏家（獎勵1）和明確的輸家（獎勵-1），因此其中一位玩家總是想要改變。如果你向右跳並接住球，你的對手會想要改變到左角。但是你又會想改變你的決定，這會使你的對手再次選擇另一個角，依此類推。

總結

這一章展示了如何通過使用納什均衡的概念來找到遊戲的解決方案。讓我們總結一下我們到目前為止學到的：

• 在遊戲理論中，遊戲的解決方案最大化每位玩家的效用或獎勵。
• 如果有另一個行動總是更好，那麼這個行動被稱為嚴格支配行動。在這種情況下，玩這個嚴格支配的行動是非理性的。
• 在考慮其他玩家的行動時，產生的最高獎勵的行動被稱為最佳答案。
• 納什均衡是一種狀態，在這種狀態下每位玩家都選擇他們的最佳答案。
• 在納什均衡中，沒有玩家想要改變他們的行動，除非其他玩家也這麼做。從這個意義上說，納什均衡是最佳狀態。
• 有些遊戲有多個納什均衡，而有些遊戲則沒有。

如果你對某些遊戲中沒有納什均衡的事實感到難過，不要絕望！在下一章中，我們將介紹行動的概率，這將使我們能夠找到更多的均衡。敬請期待！

參考資料

這裡介紹的主題通常在標準的遊戲理論教科書中涵蓋。我主要使用這本雖然是德文的書：

• Bartholomae, F., & Wiens, M. (2016). Spieltheorie. Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch. Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden.

另一個英文的選擇可以是這本：

• Espinola-Arredondo, A., & Muñoz-Garcia, F. (2023). Game Theory: An Introduction with Step-by-step Examples. Springer Nature.

遊戲理論是一個相對年輕的研究領域，第一本主要的教科書是這本：

• Von Neumann, J., & Morgenstern, O. (1944). Theory of games and economic behavior.

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