公開金鑰加密的簡單數學原理

這篇故事的原始版本出現在《Quanta Magazine》。

數千年來，如果你想要傳送一則秘密訊息，基本上只有一種方法。你需要用一個只有你和你的目標受眾知道的特殊規則來打亂訊息。這個規則就像是鎖的鑰匙。如果你有鑰匙，你就可以解開訊息；否則，你就需要撬開鎖。有些鎖非常有效，即使有無限的時間和資源也無法撬開。但即使是這些方案也有一個共同的弱點：如何把鑰匙交到正確的人手中，同時不讓錯誤的人拿到？

一個反直覺的解決方案，稱為公開密鑰加密，不是靠保密鑰匙，而是讓它廣泛可用。訣竅在於使用第二把鑰匙，這把鑰匙你永遠不與任何人分享，即使是你正在交流的人。只有通過這兩把鑰匙的組合——一把公開，一把私密——才能加密和解密訊息。

要理解這是如何運作的，最好把“鑰匙”想像成兩種互補的隱形墨水成分。第一種成分讓訊息消失，第二種讓它們重新出現。如果一位名叫鮑里斯的間諜想要給他的夥伴娜塔莎傳送一則秘密訊息，他會寫一則訊息，然後使用第一種成分讓它在紙上消失。（這對他來說很容易：娜塔莎已經發布了一個簡單且眾所周知的隱形墨水配方。）當娜塔莎收到郵件中的紙張時，她會使用第二種成分讓鮑里斯的訊息重新出現。

在這個方案中，任何人都可以讓訊息消失，但只有娜塔莎可以讓它們重新出現。因為她從不與任何人分享第二種成分的配方——甚至不與鮑里斯分享——她可以確保訊息在途中沒有被破解。當鮑里斯想要接收秘密訊息時，他只需採用相同的程序：他發布一個簡單的讓訊息消失的配方（娜塔莎或其他任何人都可以使用），同時保留另一個只給自己使用的配方來讓訊息重新出現。

在公開密鑰加密中，“公開”和“私密”鑰匙就像這種特殊隱形墨水的第一和第二成分：一個加密訊息，另一個解密訊息。但不是使用化學品，公開密鑰加密使用稱為陷門函數的數學謎題。這些函數在一個方向上很容易計算，但在反方向上極其困難。然而，它們也包含“陷門”，如果知道這些信息，就可以輕鬆地在兩個方向上計算。

一個常見的陷門函數涉及乘以兩個大質數，這是一個容易執行的操作。但反過來——即從乘積開始找到每個質因數——在計算上是不切實際的。要製作一個公開密鑰，從兩個大質數開始。這些是你的陷門。將這兩個數字相乘，然後執行一些額外的數學操作。這個公開密鑰現在可以加密訊息。要解密它們，你需要相應的私密鑰匙，其中包含質因數——必要的陷門。有了這些數字，解密訊息就很容易。保密這兩個質因數，訊息就會保持秘密。